Esperienza di astrometria su alcune stelle multiple e analisi degli errori di misura

agosto 30, 2011  |   AstronomiaNova   |     |   0 Commenti

Lorenzo Preti

Introduzione

L’astrometria è quella branca dell’astronomia che misura, in alta precisione, la posizione delle stelle rispetto ad un sistema di riferimento. In un certo senso è grazie ai progressi dell’astrometria  che si è cominciato a misurare il tempo in modo sempre più accurato, a creare calendari sempre più precisi e ad orientarci correttamente durante la navigazione in mare aperto. Queste genere di ricerche ha rappresentato per secoli il settore più vitale della scienza del cielo. L’interesse per lo studio dei sistemi multipli di stelle si è imposto a partire dal XIX secolo, quando studiare la dinamica di un sistema doppio rappresentava l’unica possibilità per distinguere un sistema doppio fisico (ovvero con stelle legate gravitazionalmente) da un sistema doppio prospettico.

Negli ultimi decenni si è sempre più spesso utilizzata la spettroscopia per accertare la “fisicità” di una stella doppia. Un limite di questo metodo è semplicemente costituito dall’enorme quantità di stelle doppie e sistemi multipli (o sospetti tali) che popolano il cielo. Pertanto, lo studio astrometrico classico ha ancora ampi spazi di utilizzo, specialmente per  l’astrofilo, purché dotato di una strumentazione minima: un telescopio in montatura equatoriale motorizzata con un diametro di almeno 15 centimetri e un sensore CCD o CMOS nel suo fuoco (una fotocamera reflex digitale,  quali le Canon EOS o le Nikon).

Ho iniziato ad occuparmi di astrometria stellare, rimanendone subito affascinato, dopo aver acquisito delle immagini di stelle doppie classificate come “neglette” (la cui ultima misura ufficiale di catalogo risaliva a più di un secolo fa!) in collaborazione con l’astrofilo italiano, esperto di astrometria, Giuseppe Micello. In particolare,  tale collaborazione ha portato all’aggiornamento delle misure del catalogo ufficiale Washington Double Star Catalogue (WDS) e ad un articolo sul Journal of Double Star Observer (JDSO ), il web-magazine di riferimento mondiale per gli appassionati del campo. Data la portata del risultato raggiunto, di comune accordo con il sig. Micello, abbiamo deciso di mettere alla prova gli strumenti a mia disposizione con una ulteriore serie di misure. Era infatti di primaria importanza capire l’entità dell’errore di misura;  i sistemi multipli misurati sono stati scelti da Micello, sulla base del numero di componenti, delle separazioni angolari e delle magnitudini.

Misurare una stella doppia

Angolo polare θ e separazione angolare ρ di una coppia di stelle A, B.Misurare una stella doppia significa trovarne le coordinate polari, prendendo come stella di riferimento la componente più luminosa.

Le coordinate polari sono composte da due grandezze: la separazione angolare ρ, la distanza in secondi d’arco tra la stella primaria e la secondaria, e l’angolo polare θ, che indica l’angolo tra il vettore congiungente le due stelle ed il Nord, fig. 1. Per trovare queste due grandezze, si può procedere in diversi modi. E’ tramite il confronto dei dati restituiti da questi diversi metodi che si è pensato di ricavare una stima dell’errore nelle misurazioni.

Il primo metodo è quello astrometrico “classico”: si effettua un allineamento tra l’immagine che abbiamo ottenuto al telescopio ed un’immagine di catalogo precedentemente calibrata con le coordinate equatoriali, cosicché anche ogni punto della nostra immagine possa essere associato ad una coordinata di Ascensione Retta,  α, e Declinazione, δ. Dopo la calibrazione, otterremo le coordinate  equatoriali delle due componenti A (αA, δA)e B (αB, δB), e da queste passeremo alle coordinate polari tramite semplici formule di trasformazione.

L’angolo di posizione  θ vale:

θ = arctan (Δα cos δA/Δδ)

dove Δδ è la differenza della declinazione e  Δα la differenza della ascensione retta tra la stella B e la stella A.

La separazione ρ invece, si calcola con il teorema di Pitagora:

ρ = ((Δα cos((δA + δB)/2))2 + Δδ2)1/2

E’ necessario precisare che le formule sopra riportate sono soluzioni approssimate, poiché valide, a rigore, per la geometria piana, non sferica! Sono comunque ottime approssimazioni per valori angolari molto piccoli (quali quelli normalmente in gioco durante queste misurazioni). Le due precedenti formule non possono essere utilizzate per qualsiasi valore di separazione. Quelle accurate, valide per qualsiasi valore di distanza angolare, possono essere  riprese dal libro di Jean Meeus, Astronomia con il Computer (Hoepli editore, diverse edizioni).

Esempio di immagine calibrata tramite sovrapposizione di stelle con il programma Aladin 6.0

Il secondo metodo di misura non necessita di alcun allineamento dell’immagine. In questo caso, immediatamente prima di iniziare le riprese, si fotografa una stella doppia (prospettica o con periodo orbitale millenario), di coordinate note, ed in base ad essa sarà poi possibile ottenere la scala di campionamento e la rotazione corretta del sensore di ripresa rispetto al Nord.

Stella doppia orientata casualmente su una “griglia” (sensore con pixel quadrato)

Supponiamo che la doppia in Fig. 3 sia una doppia di calibrazione, ovvero di coordinate note e che i centroidi delle stelle A e B siano posti alle coordinate del sensore (Xa,Ya) e (Xb,Yb).  L’angolo  αp sarà dato allora da:

αp = arctan ((Xb-Xa)/(Yb-Ya))

con il quale otteniamo facilmente l’orientamento dell’immagine Δ.

Δ = αp - θ

Il valore della scala di campionamento passa attraverso la misura in pixel della distanza tra il centroide di A e quello di B. Applicheremo il teorema di Pitagora  per il calcolo di β:

β = ((Xb-Xa)2 + (Yb-Ya)2)1/2

Il valore di campionamento Σ dell’immagine sarà dato dal rapporto tra la distanza nota in secondi d’arco e la distanza in pixel appena calcolata:

Σ = ρ/β

A questo punto, se non avremo ruotato né, tanto meno, cambiato sensore, per ottenere i valori di ρ e θ della stella doppia incognita, sarà sufficiente applicare le medesime equazioni con  Δ e  Σ noti, e αp e β ricalcolati in base al fotogramma della stella doppia da misurare.

Esplicitiamo per maggior chiarezza:

θ = αp — Δ
ρ = Σβ

Questi due metodi di misura hanno sia pregi sia difetti, come  evidenzieremo nel corso di questa esperienza astrometrica.

Descrizione preliminare dei sistemi stellari multipli oggetto della misurazione

Il sistema multiplo Sh355 (catalogo South & Herschel, 1824, designazione catalogo WDS: SHJ355, fig. 4) è un bel sistema stellare multiplo nella costellazione Cassiopea, in cui la stella principale è di magn.4,9 di un bel

colore azzurrato (classe spettrale B3IV). Il sistema è costituito da 8 componenti. Le coppie AB e CD sono coppie strette; le componenti B e D risultano in realtà invisibili al telescopio a medi ingrandimenti. Anche riprendendo al fuoco diretto (1 metro di focale, fig. 5) con il mio telescopio di 20 centimetri,  queste componenti non sono risolte, pertanto in questo studio analizzeremo il sistema solo nelle sei componenti normalmente rilevabili visualmente. Le componenti F e G formano a loro volta una doppia con tanto di nomenclatura ufficiale:  HJ 1887 (catalogo John Herschel). La componente I è la più distante e venne attribuita allo stesso sistema nel catalogo di Sherburne Wesley Burnham nel 1906 con la sigla BU 1149. Nel medesimo campo di ripresa, a circa 10′ Sud-Est, è visibile anche il sistema STF3022 (catalogo Friedrich Georg Wilhelm von Struve): è composto da tre stelle, di cui solo le prime due costituiscono una coppia evidente, mentre la componente C rimane più separata.

Strumentazione utilizzata (fig. 5): telescopio “Skywatcher” Newton 8” f/5, montatura “EQ6 GoTo”, fotocamera CMOS “MagZero MZ5-m” (5,2×5,2 micron, 1280×1024 fotoelementi), correttore di coma “MPCC Baader Planetarium”

Le riprese: sono state effettuate l’8 ottobre 2010. Ho prestato particolare attenzione all’allineamento degli assi del telescopio con quelli del sensore, poi ho ripreso 10 fotogrammi della durata di 10 secondi ciascuno, con sottrazione automatica dei dark.

Analisi dei dati

Per l’analisi dei fotogrammi ho utilizzato due metodi diversi e due software distinti. Con il software IRIS 5.59 di Christian Buil , si può applicare una riduzione astrometrica di tutte le stelle del campo, utilizzando come riferimento il catalogo GSC-ACT che raggiunge la magnitudine 14,5.

IRIS implementa anche un’utile funzione di correzione delle distorsioni ottiche, che permette di raggiungere un ottimo livello di sovrapposizione tra le stelle “virtuali” del catalogo e quelle reali delle immagini.

In un primo momento ho cercato di evitare che il software creasse il polinomio di riduzione astrometrica  includendo anche le stelle da misurare. Per fare ciò, con il comando FILL_ELLIP (guida in formato PDF ) ho cancellato manualmente le stelle da misurare, ma ciò ha creato un problema di riconoscimento del campo da parte del software, a causa della carenza di parte delle stelle più luminose. Dal momento che le stelle di campo riconosciute per l’allineamento erano un buon numero, (circa una trentina), dopo alcune prove ho concluso che la presenza delle doppie da misurare non compromette affatto la riduzione delle posizioni. Ho quindi misurato la posizione di 9 stelle su tutte e 10 le immagini, più altre 9 misurazioni per l’immagine “media” delle 10 foto, per un totale di 99 posizioni astrometriche (tabelle 1 e 2).

Dal confronto fra la tabella 1 e la tabella 2 (si veda anche la fig. 6), appare chiaro che le misure medie presentano differenze minime rispetto alle misure dirette eseguite sull’ immagine media, con un errore di allineamento abbondantemente sotto il decimo di  secondo d’arco.

In grafico le differenze tra le coordinate equatoriali delle stelle riportate nella tabella 1 e 2.

Per il calcolo di ρ e θ delle componenti stellari si utilizzano i dati della Tabella 1, poiché dai dati che hanno originato tale tabella, si otterrà anche la serie dei valori delle deviazioni standard.

Si nota come le deviazioni standard di θ siano grosso modo inversamente proporzionali a ρ, e le deviazioni standard di  ρ siano approssimativamente proporzionali a  ρ. Ciò si può ritenere fisicamente coerente con il fatto che si sta lavorando sulla matrice di fotoelementi di un sensore.

Si esegue ora un diverso procedimento di misura sulle medesime immagini utilizzando il software REDUC 3.88 di Florent Losse.

Come anticipato, per effettuare le misure con REDUC occorre fare una calibrazione su una coppia di stelle di misure note per trovare orientamento dell’immagine ed il campionamento. Purtroppo in fase di ripresa non si è fatta l’immagine di calibrazione, cosicché si è dovuto utilizzare un metodo di calibrazione diverso.

Con IRIS si è potuto verificare che il campionamento dell’immagine è esattamente uguale a quello teorico e quindi lo si è assunto come dato noto, poi si è ricavato l’orientamento delle immagini facendo il calcolo trigonometrico fra due punti molto distanti dell’immagine media. I dati di calibrazione così trovati sono stati:

Campionamento Σ=1,072572”/fotoelemento

Orientazione Δ=0,211°

A questo punto può risultare utile fare un grafico riassuntivo delle differenze fra i valori ottenuti con IRIS ed i valori ottenuti con REDUC, per valutare le prestazioni dei due software.

In fig. 7 si prendono in considerazione i valori dell’angolo di posizione: in blu è la serie di θ  relativi ad IRIS, i quali, venendo normalizzati, valgono zero. In rosso i dati di θ ottenuti con REDUC sottratti del valore ricavato con IRIS. Per entrambe le serie ottenute, si sono evidenziate le deviazioni standard.  Analogamente (fig. 8), ho normalizzato a zero i valori di ρIRIS (in giallo), per evidenziare le differenze con ρREDUC, in verde.

La scelta di normalizzare i dati di IRIS rispetto a REDUC è assolutamente arbitraria, quindi da questi grafici non si può ancora leggere qual’è il software più efficiente! Si può notare che per quanto riguarda l’angolo di posizione i valori si possono considerare discretamente sovrapponibili. Ciò non avviene per la separazione, dove l’errore aumenta con il valore assoluto della misura.

Inoltre, gli scostamenti dei dati si possono mettere in relazione al valore assoluto di  ρ e scoprire così che l’errore relativo Δρ/ρ si mantiene intorno all’ 1% per tutti i dati.

Confronto con misure professionali e dati di catalogo

Per non andare oltre gli scopi di questo articolo, essenzialmente descrittivi, e poiché non è tra i nostri obiettivi la determinazione di eventuali moti propri e/o orbitali, confronteremo i valori ottenuti esclusivamente con i dati più recenti e neppure per tutte le stelli componenti. Il primo catalogo di confronto è il Washington Double Star Catalogue (WDS), poi si farà riferimento a due cataloghi molto recenti e precisi, l’UCAC3 (The third US Naval Observatory CCD Astrograph Catalog, 2009) ed il PPMXL (Catalog of Positions and Proper Motions on the ICRS, 2010).

Per determinare le differenze rispetto ai dati di catalogo prendiamo come valore di riferimento il valore medio tra i dati forniti dal catalogo UCAC3 ed il catalogo PPMXL e calcolare l’errore relativo e% percentuale delle nostre misurazioni. La formula usata è la seguente:

e%=100 x |(misura-riferimento)|/misura

Ad IRIS spetta l’errore relativo massimo mentre a REDUC spetta l’errore medio percentuale più elevato. In entrambi i casi, i dati ottenuti sono indubbiamente incoraggianti se paragonati con le “prestazioni” del catalogo ufficiale del Washington Double Star Catalogue.

Conclusioni

1. I dati analizzati con due software e metodi differenti

forniscono valori di  ρ e θ assai simili. Per quanto riguarda il valore della separazione, possiamo considerarlo affidabile con un errore relativo dell’ 1%, mentre per   θ possiamo valutare la soglia di affidabilità =0,2° per  un ampio range di misure (anche se, chiaramente, anche questa soglia dipende in realtà da ρ: si abbassa per ρ elevati e si alza per ρ  molto bassi).

2. Va ricordato che in questa esperienza, con REDUC, non si è operato misurando un’immagine di calibrazione ma riportando dati teorici di campionamento e di angolo, già verificati e accertati con altro software, quindi il test astrometrico del software si deve considerare incompleto. Nonostante ciò, possiamo affermare che IRIS dovrebbe fornire dati leggermente più precisi di REDUC, grazie al fatto che, durante la calibrazione, si è operata un’approssimazione non lineare sulle coordinate dell’intero campo stellare, per minimizzare l’effetto di distorsione introdotto dal sistema ottico del telescopio. REDUC invece opera esclusivamente per approssimazioni lineari: ciò è rischioso in quanto, su separazioni angolari elevate tra le due componenti e ad alti valori di campionamento, gli errori possono diventare niente affatto trascurabili.

3. IRIS necessita di un campo assai ampio e ricco di stelle sulle quali eseguire, con sufficiente precisione, le misure. Se si riduce il campo angolare di ripresa, con una conseguente diminuzione del numero di stelle luminose misurabili (come nei casi di riprese ad alta risoluzione oppure con l’impiego di sensori di ridotte dimensioni lineari) IRIS potrebbe fornire risultati meno accurati di REDUC.

4. Per doppie molto strette diventa problematico indicare ad IRIS quali sono i pixel da utilizzare per una componente e quali no, col rischio di falsare la posizione del centroide (fig. 8). REDUC, invece, è molto più efficace nell’evitare questo difetto di prossimità, in quanto effettua le misurazioni sempre al medesimo grado di precisione, quasi indipendentemente dall’ “abilità” dell’utente di selezionare i pixel giusti.

5. Le prestazioni di IRIS si potrebbero migliorare se si potessero utilizzare i database  di cataloghi stellari più recenti, come l’UCAC3. REDUC, basandosi solamente sulle coordinate relative dei centroidi rispetto alle immagini di calibrazione, non ha questo genere di problema.

6. Un vantaggio di IRIS rispetto a REDUC , è che  dispone di  una serie di comandi che consentono di correggere le distorsioni delle immagini introdotte  sia dal sistema ottica che dal seeing.

7. Le misure astrometriche ricavabili dall’immagine media sono perfettamente confrontabili, a livello di precisione,  con le misure prodotte dalla media dei valori delle singole immagini.  Il lavoro descritto in questo  articolo ci consente di affermare che si può tranquillamente utilizzare la sola immagine media per fare misure astrometriche di qualità, con entrambi  i software da me utilizzati.


Lorenzo Preti vive da 37 anni in un luogo certamente non ideale per fare astronomia:
l’inquinata, piatta, afosa e nebbiosa Pianura Padana, in provincia di Ferrara.
Nonostante ciò, osserva assiduamente la volta celeste da una quindicina di anni e trae soddisfazione ogni qualvolta riesce ad unire questa sua passione
con la sua formazione, prettamente tecnica.
Dice che non si dedica volutamente allo studio di una branca specifica dell’astronomia,
poiché la bellezza dell’astrofilia sta nell’esplorare la vastità dell’argomento,
in assoluta libertà di tempo e mezzi impiegati.

Bibliografia:

Per il software IRIS 5.59 di Christian Buil http://www.astrosurf.com/buil/us/iris/iris.htm.
1 Sezione tutorial astrometria: http://www.astrosurf.com/buil/iris/tutorial13/doc31_us.htm
Per il software REDUC 3.88 di Florent Losse http://astrosurf.com/hfosaf/
2 Sezione tutorial ITALIANO http://astrosurf.com/hfosaf/Reduc/Tutoriit.htm
Aspetti pratici per la riduzione astrometrica: http://astrosurf.com/hfosaf/uk/dored.htm
Per i dati di catalogo:
“The Cambridge Double Star Atlas” di James Mullaney, Wil Tirion
Centre de Données astronomiques de Strasbourg http://cds.u-strasbg.fr/
Per la visualizzazione dei cataloghi e la generazione delle query, si è utilizzato Aladin V.6.0 http://aladin.u-strasbg.fr/aladin.gml
Ricerche di altri cataloghi e dati astrometrici http://vizier.u-strasbg.fr/viz-bin/VizieR
Per nomenclature e misurazioni professionali: Washington Double Star Catalogue http://ad.usno.navy.mil/wds/
Per i grafici ed il calcolo delle coordinate polari si è creato un apposito foglio elettronico con OpenOffice.org Calc http://it.openoffice.org/








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