L’ottica di Keplero: esattamente quattro secoli fa Keplero pubblicò la sua rivoluzionaria Dioptrice

aprile 30, 2011  |   AstronomiaNova   |     |   0 Commenti

di: Francesco Ongaro

Quando nella primavera del 1610 Keplero incontrò l’amico Matthäus Wacker von Wackenfels, dal quale ebbe notizia delle scoperte galileiane presentate nel Sidereus Nuncius, la sua prima preoccupazione fu che i quattro corpi celesti osservati dal pisano non fossero nuovi pianeti[1]. In seguito all’improvvisa morte di Tycho Brahe egli era infatti divenuto matematico imperiale alla corte di Rodolfo II e, dopo anni di duro lavoro, aveva da poco dato alle stampe l’Astronomia Nova.

Il monumento dedicato a Keplero (la figura a destra) e a Tycho Brahe, collocato nei pressi del Ginnasio “Kepler” di Praga.

Nell’opera, monumento dell’astronomia moderna, che molto deve alle minuziose misure di Marte collezionate dall’astronomo danese, Keplero aveva demolito l’ultimo grande dogma del pensiero antico, quello secondo il quale tutti i corpi celesti, nella loro eterna perfezione e incorruttibilità, si muovessero seguendo delle circonferenze o con moti che risultassero da combinazioni di queste. Nel proprio intimo però, benché fosse un copernicano convinto e uno scienziato pronto a ricredersi di fronte all’evidenza delle osservazioni, aveva sempre rigettato l’idea che l’universo potesse essere infinito e si era conservato fedele alla costruzione rigorosamente geometrica e “compatta” del cosmo enunciata nel suo primo lavoro, il Mysterium Cosmographicum, nella quale il numero dei pianeti non poteva essere superiore a sei perché cinque era quello dei solidi platonici che era possibile “collocare” con una certa proporzionalità tra un’orbita e quella successiva. Una interpretazione “geometrica” del cosmo – Keplero era convinto che la geometria fosse un riflesso della mente divina – che il matematico tedesco non abbandonerà mai e che si concretizzerà nella formula che stabilisce una corrispondenza tra i periodi di rivoluzione dei pianeti e il semiasse maggiore della loro ellisse – oggi nota come terza legge di Keplero -. Fu quindi con molto sollievo che, ricevuta per mezzo dell’ambasciatore toscano a Praga copia del Sidereus, assieme alla preghiera di esprimere un parere al riguardo, Keplero constatò che i corpi celesti studiati da Galileo non erano pianeti sconosciuti ma nuove lune orbitanti attorno a Giove. Scoperta che di per sé vanificava uno degli argomenti di natura meccanica che mettevano in campo coloro che si opponevano alle novità della dottrina copernicana: perché mai solo la luna avrebbe dovuto ruotare attorno alla Terra, quando tutti i pianeti ruotavano invece attorno al sole?

Nella risposta che Keplero inviò sotto forma di lettera, nota come Dissertatio cum Nuncio Sidereo, solo undici giorni dopo aver ricevuto il libro, il matematico imperiale appoggiò con incondizionata fermezza le asserzioni galileiane e le sostenne contro coloro che a priori giudicavano inverosimile o falso tutto ciò che non conoscevano. Una difesa che giungeva forse inattesa[2], ma che risultò molto preziosa in un momento in cui da tutte le parti si stavano levando gli scudi contro l’opera del pisano. Soprattutto dopo un’infausta serata di osservazioni, a Bologna, presso l’abitazione dell’astronomo Magini, con pochi prescelti, che si era conclusa con un nulla di fatto, probabilmente a causa della difficoltà nell’uso del telescopio e dell’imperizia degli osservatori. In particolare uno dei presenti, Martin Horky, figlio di un pastore boemo, in seguito a quell’insoddisfacente esperienza diede alle stampe un libretto, Peregrinatio contra Nuncio Sidereo, nel quale sosteneva che quanto affermato nel Sidereus era solo frutto della fantasia malata di Galileo.

Certo, Keplero espresse qualche riserva. Non tanto sui contenuti, quanto sulla forma. Egli nella Dissertatio si dimostrò infatti critico rispetto all’assenza di riferimenti nel Sidereus al lavoro di filosofi della natura precedenti che avevano aperto la via alle nuove scoperte. Ma soprattutto lamentò la mancanza di un capitolo che desse giustificazione dell’attendibilità scientifica di uno strumento come il telescopio, usato fino a quel momento solo per applicazioni militari e delle cui leggi di funzionamento ottico non si conosceva quasi nulla. Lacuna che esponeva l’autore agli strali dei suoi avversari. Molti di quelli infatti si accanivano su aspetti all’apparenza secondari, accusando Galileo di pavoneggiarsi nell’utilizzo di uno strumento inventato da altri o facendo leva sull’inaffidabilità del medesimo nello studio dei cieli. Di fatto attribuendo i satelliti gioviani, le stelle della Via Lattea e le increspature della superficie lunare a imperfezioni sul vetro delle lenti o a fantomatiche bolle di gas che avrebbero ingannato l’occhio dell’osservatore[3]. Nell’approccio alle nuove scoperte i due studiosi manifestarono un’attitudine differente. Mentre l’italiano si limitò alla descrizione dei fatti osservati, il tedesco si preoccupò fin da subito di inserire le nuove scoperte all’interno del pensiero scientifico dell’epoca per poter poi organizzare i fatti in un unico systema mundi. Pare quasi che a Galileo importasse più distinguersi dalla sua epoca e dai suoi predecessori che non confrontarsi con l’altrui pensiero, quasi che la sua opera segnasse l’inizio di qualcosa di completamente diverso che non poteva avere termini di paragone. In questa chiave di lettura la Dissertatio può essere considerata il primo passo di avvicinamento da parte di Keplero alle novità introdotte nell’astronomia dall’utilizzo del nuovo strumento, cammino che si concluderà poi con la pubblicazione della Dioptrice.

Comunque sia, la risposta del pisano, nonostante il matematico imperiale fosse stato uno dei suoi più strenui difensori, giunse a Praga solo a metà dell’agosto di quell’anno. E soltanto dopo che Keplero gli aveva inviato una seconda lettera lamentandosi, lui che era stato il solo a credere alle affermazioni contenute nel Sidereus senza averne avuto alcuna prova, di non aver potuto ancora far uso di un cannocchiale per poter osservare a propria volta la meraviglia dei satelliti medicei. Nella lettera di risposta, non accompagnata tra l’altro dallo strumento di cui Keplero aveva fatto di nuovo esplicita richiesta, Galileo ringraziava il matematico imperiale del suo sostegno e si rammaricava di non potergli mandare quanto richiedeva, avendo egli appena fatto dono di un identico strumento al Granduca di Toscana. Gli prometteva però che presto ne avrebbe costruito uno appositamente per lui. Una risposta scarna, diplomatica, che non sembrava voler incoraggiare future collaborazioni. Tra l’altro, in maniera molto poco elegante, Galileo faceva riferimento al compenso ricevuto dal Granduca e alla sua nomina a Phylosophus et Mathematicus del Granducato[4]. Pare quasi che Galileo nutrisse una sorta di diffidenza istintiva nei confronti di un uomo dal pensiero a tratti misticheggiante che, pur condividendo la fede copernicana, non percepiva affine al proprio spirito. Nella lettera infatti non fece alcuna menzione delle sue più recenti osservazioni di Venere e di Saturno, gli anelli del quale aveva scambiato per due nuovi satelliti.

Keplero riuscì soltanto alla fine dell’estate del 1610 a puntare per la prima volta verso il cielo un telescopio con gli ingrandimenti appropriati, grazie alla benevolenza dell’Elettore Ernst di Colonia, duca di Baviera, recatosi a Praga per le divergenze insorte tra Rodolfo II e il fratello Mattia che avrebbero presto precipitato l’Europa nel baratro della Guerra dei Trent’anni, il quale aveva avuto in dono lo strumento proprio da Galileo. Il risultato di quelle osservazioni, condotte alla presenza di testimoni, ciascuno dei quali, indipendentemente dagli altri, aveva segnato sopra una lavagnetta quanto aveva visto, diede piena conferma alle novità del Sidereus e prese forma testuale in una relazione intitolata Narratio de Jovis Satellibus che arrivò a Firenze prima della fine dell’anno e contribuì a rafforzare la reputazione di Galileo.

La Dioptrice è l’opera di Keplero che rivoluzionò l’ottica; vi troviamo la prima spiegazione corretta del cannocchiale galileiano e il primo schema ottico del cannocchiale “kepleriano”.Keplero si sentì pronto a quel punto per colmare quella che considerava la maggiore lacuna del testo galileiano. Nei mesi immediatamente  successivi alle sue osservazioni con il cannocchiale del duca di Baviera scrisse infatti la Dioptrice. Un lavoro intenso che lo occupò per parecchie settimane e che per una serie di contrattempi vide le stampe solo nella primavera del 1611.

L’opera si poteva suddividere in due parti. Una prefazione, nella quale erano anche accluse le lettere nelle quali Galileo rendeva conto delle sue recenti scoperte su Venere e Saturno[5], e una successione di 141 teoremi distinti in definizioni, assiomi – teoremi che non avevano bisogno di dimostrazione -, problemi – teoremi che venivano dimostrati – e preposizioni – cioè teoremi che erano conseguenze di assiomi e definizioni -[6]. Un impianto severo, senza fronzoli, scientifico nel senso moderno del termine, nel quale non era concesso spazio a digressioni metafisiche e non si andava in cerca di significati che andassero oltre i fenomeni visibili. Né più né meno di ciò di cui c’era bisogno in un’epoca in cui le lenti, capaci di deformare le immagini del mondo, a volte anche in maniera grottesca, erano trattate con estrema diffidenza da parte della comunità scientifica, la quale era propensa a considerarle più dispositivi magici[7] che non strumenti utili per indagare la natura.

La consapevolezza rispetto al senso e al significato del proprio lavoro emergeva da parte di Keplero fin dalle prime righe della prefazione, subito dopo la dedica iniziale a Ernst di Colonia, nelle quali affermava di presentare al lettore un libro matematico, difficile da capire, che richiedeva un certo ingegno e uno smodato desiderio di comprendere la causa delle cose[8]. Egli sapeva che solo un testo rigoroso dal punto di vista matematico poteva giustificare l’utilizzo delle lenti nel telescopio e avvalorare le scoperte galileiane. Dopo il Mysterium e l’Astronomia Nova egli proseguiva dunque nella costruzione di un’astronomia fondata sulla geometria e sul copernicanesimo, dando il via alla nuova scienza dei fenomeni di rifrazione, l’unica che potesse individuare le cause di funzionamento del cannocchiale. Anche le lettere di Galileo inserite nella prefazione in fondo avevano lo scopo di giustificare questa impostazione. L’accurata descrizione delle fasi di Venere[9], della natura “tenebrosa” dei pianeti[10] e dei satelliti di Saturno[11] erano osservazioni che da sole non bastavano, sembrava voler dire Keplero, perché per poter essere credibili avevano necessità di un sostegno teorico. Sostegno che lui era pronto a fornire a coloro che avessero intelletto pronto e voglia di faticare sui teoremi. Era come se il pensiero di Galileo fosse rivolto a tutti, in maniera indistinta[12], mentre quello di Keplero fosse indirizzato soltanto verso quel ristretto gruppo di persone che avevano la possibilità di comprendere un linguaggio per iniziati[13]. Due modi antitetici di concepire il sapere e la gestione del medesimo che mettevano in evidenza una volta di più quella differenza di personalità esistente tra i due che avrebbe precluso ogni futura collaborazione.

La seconda parte della Dioptrice, quella più importante, incominciava subito entrando nel merito della questione, senza inutili orpelli filosofici che Keplero aveva relegato nella prefazione. Già nella prima pagina compariva un disegno con la descrizione di un apparato[14] e di un esperimento che permetteva di calcolare, per mezzo di semplici formule trigonometriche, la rifrazione di un raggio di luce che cambiava mezzo, dall’aria al vetro e viceversa. Quindi Keplero proseguiva stabilendo che cosa intendeva per angolo di incidenza e di rifrazione ed enunciava le leggi che descrivevano i fenomeni[15], arrivando anche a scoprire l’angolo di riflessione totale, cioè l’angolo di incidenza oltre il quale non vi era più rifrazione ma solo riflessione. Poi si dedicava con grande accuratezza allo studio delle lenti e alle loro immagini, reali e virtuali, analizzando dal punto di vista geometrico la traiettoria di un raggio attraverso una lente semplice e poi attraverso sistemi complessi di due e di tre lenti. Il tutto gli permise di porre le basi alla fine del testo per un miglioramento del cannocchiale galileiano, suggerendo l’utilizzo di una coppia di lenti convesse invece che una lente concava e una convessa. In quel modo, benché risultasse ribaltata, a parità di qualità di lenti l’immagine era molto più nitida.

Nel Problema 86 (“Due lenti convesse garantiscono una migliore visione, ma rovesciano l’immagine”) Keplero descrive per la prima volta il funzionamento del cannocchiale “kepleriano”.

A tal riguardo è passato alla storia il teorema numero 86, nel quale Keplero mostrava come attraverso due lenti convesse un oggetto apparisse ingrandito e invertito[16]. Nel telescopio kepleriano i raggi rifratti dall’obiettivo dirigevano verso punti di convergenza che erano posti prima dell’oculare, sulla superficie del quale arrivavano quindi divergenti e invertiti per essere poi di nuovo rifratti verso la pupilla. La differenza rispetto allo strumento di Galileo consisteva quindi nell’uso come oculare di una lente convessa invece che di un concava, la quale era invece posta prima dei punti di convergenza dei raggi rifratti dall’obiettivo. Keplero non realizzò mai questo tipo di telescopio che venne invece costruito per la prima volta solo una decina d’anni dopo.

Data l’importanza di quest’opera di Keplero nello sviluppo del pensiero umano e nell’affermazione della teoria eliocentrica copernicana, nel quarto centenario della sua pubblicazione sarebbe interessante condurre un censimento delle copie tuttora esistenti nelle biblioteche italiane – di molte delle quali non si ha notizia – per meglio comprendere, anche dalle note scritte a margine, la diffusione e l’influenza esercitata al momento della sua pubblicazione.

La Dioptrice, dopo la prima edizione del 1611, fu ristampata a Londra nel 1653 e nel 1683, insieme al Sidereus ed all’Institutio astronomica di Pierre Gassendi.

Una domanda interessante riguarda il numero di esemplari della Dioptrice che sono stati complessivamente stampati nel corso del Seicento. Occorre premettere che in quel secolo non era usuale che l’editore rendesse pubblico il numero delle copie stampate di un’opera. Si può dire, con una certa attendibilità, che difficilmente il numero degli esemplari di una tiratura superasse le mille unità. Una tiratura media, infatti, si aggirava tra le 400 e le 800 copie. L’Astronomia Nova, opera fondamentale di Keplero, nell’unica edizione del 1609, arrivò forse a 500 copie. La Dioptrice, nelle sue tre edizioni secentesche, non ha quasi certamente superato una tiratura complessiva di 1500-2000 copie.

La domanda alla quale vorremmo dare una risposta, anche parziale, è: quante copie della Dioptrice sono ancora esistenti nelle biblioteche pubbliche e private in Italia?

Al momento non abbiamo alcuna risposta certa, essendo molti i fattori che incidono sulla conservazione delle opere a stampa, vecchie di alcuni secoli. Della prima edizione della Dioptrice, credo non ne siano sopravvissuti più di un centinaio di esemplari.

Come procedere nella ricerca

Il censimento non ha affatto la pretesa di costituire, in sé, uno studio analitico; la sua funzione è, più semplicemente, quella di fornire un primo strumento di ricerca e di orientamento per gli studiosi e gli storici. Per gli appassionati, gli studenti e  gli insegnanti, partecipare a questo progetto può essere una buona occasione per accostarsi alla storia dell’astronomia, entrare nelle biblioteche ed assaporare in senso quasi letterale, il Tempo. Ma non solo, toccare con le proprie mani pagine vecchie di secoli, nelle quali le grandi idee che stanno alla base della Rivoluzione astronomica scorrono ancora pienamente vitali, può essere un’emozione unica ed assolutamente indescrivibile!

La necessità di recarsi personalmente nelle biblioteche, in Italia e in Europa, è dettata dal fatto che la grande maggioranza di esse non ha i propri cataloghi disponibili sul web.

Ancora molti cataloghi sono sotto forma di schedari o di volumi manoscritti e la ricerca deve essere pazientemente condotta senza dimenticare di chiedere il preziosissimo aiuto dei bibliotecari che  possono dare un orientamento alla ricerca. Una volta reperito il volume (o i volumi) ed averlo richiesto per la consultazione, esso va trattato con estrema cura. Lo si sfogli delicatamente pagina per pagina, controllando che non vi siano parti mancanti e si cerchino eventuali annotazioni manoscritte, firme, date, ecc.

Quando possibile si chieda l’autorizzazione, a scopo di studio, per la riproduzione fotografica del frontespizio e delle note più estese. Foto digitale in formato JPG, leggibili, vanno benissimo!

E’ importante segnalare alla redazione di ASTRONOMIA NOVA, info@eanweb.com, anche l’esito di una visita infruttuosa, in modo da tenere una traccia dell’insieme delle biblioteche visitate.

Ecco un esempio di note relative alla copia della Dioptrice conservata nella Biblioteca Comunale dell’Archiginnasio di Bologna:

Quasi sicuramente è il conte bolognese Carlo Antonio Manzini, appassionato di ottica, a scrivere questa nota a margine, a commento della figura a pag. 39 della Dioptrice (si tratta della copia, un po’ rovinata dall’umidità, conservata presso la Biblioteca Comunale dell’Archiginnasio di Bologna), nella quale rimanda a Girolamo Sirtori e ad alcuni passi di un suo libretto sul cannocchiale, il De Telescopio, 1618 e a Galileo Galilei.

L’interno del piatto del frontespizio presenta una scritta latina di difficile interpretazione. La copia è segnata dall’umidità. A p. 25 ci sono alcune correzioni al testo italiano della lettera di Galileo. Aggiunta a p. 27, relativa a Simon Mario. Alle pagg. 8-9-10 della Dioptrice vera e propria ci sono delle annotazioni latine. Sottolineature a p. 15. Nota latina a p. 16 e  a p. 20. A p. 29, propositio LXX, c’è una nota latina abbastanza lunga.  Cancellatura a p. 35.  Importante nota a p. 39, propositio XXCIII (fig. 5), molto lunga quasi certamente da attribuire al conte bolognese Carlo Antonio Manzini, un appassionato di ottica e autore di un testo di abbastanza noto, pubblicato a Bologna nel 1660, dal titolo: L’occhiale all’occhio. Nota latina a p. 63.

Riassumendo, ecco le informazioni che si dovrebbero raccogliere:

  • Nome della biblioteca
  • prendere nota della collocazione dell’opera;
  • Foto del frontespizio e di eventuali annotazioni, date, ecc.
  • accertarsi dell’integrità fisica dell’opera; segnalare eventuali pagine mancanti (scorrendo la numerazione delle pagine)
  • prendere le esatte dimensioni delle pagine del libro
  • indicare il periodo, anche approssimato, della rilegatura. Se non si ha esperienza, chiedere la collaborazione di un bibliotecario esperto.
  • se è indicata la provenienza (proprietario, ecc.) specificare dove essa appare: Ad esempio, se sul frontespizio, scrivete: tp, oppure se è nell’altra facciata, usare la sigla convenzionale: c<2>.

Breve bibliografia di riferimento dell’articolo.

Bucciantini Massimo, Galileo e Keplero, Einaudi, Torino, 2003.

Caspar Max, Kepler, Dover Publications Inc., NewYork, 1993.

Ferguson Kitty, L’uomo dal naso d’oro, Longanesi, Milano, 2003.

Galileo Galilei, Opere, Riccardo Ricciardi Editore, Milano, 2006.

Koestler Arthur, I sonnambuli. Storia delle concezioni dell’universo, Editoriale Jaca Book, Milano, 2002.

Lombardi Anna Maria, Keplero, Codice edizioni, Torino, 2008.

Rottman Gerald, The geometry of light, Published by Gerald Rottman, Baltimore, 2008.

Verdet Jean-Pierre, Storia dell’astronomia, Longanesi, Milano, 1990.

Francesco Ongaro

Nato a Brescia nel 1966, vive in Franciacorta. È laureato in fisica, si divide tra la scrittura e l’insegnamento. Ha pubblicato due romanzi storici che sono stati tradotti in diverse lingue: L’uomo che cambiò i cieli (imperniato sulla figura dell’astronomo danese Tycho Brahe e sulla rivoluzione copernicana) e Memorie di un cartografo veneziano (che ha per protagonista Sebastiano Caboto ed è ambientato nel secolo delle grandi esplorazioni).


[1] L’episodio è da lui stesso riferito nell’opuscolo Strena seu de nive sexangula, dedicato all’amico con il quale aveva condiviso numerose conversazioni su molteplici argomenti scientifici e filosofici.

[2] Non va dimenticato che Galileo non aveva mai ottemperato alle richieste di commento dell’Astronomia Nova da parte di Keplero e l’ultimo contatto epistolare tra i due risaliva al 1597, quando il toscano, dopo aver ricevuto copia del Mysterium, aveva inviato una lettera lodando il lavoro del tedesco e dichiarandosi a sua volta copernicano

[3] A questo riguardo credo sia utile tener presente che Galileo non inventò il cannocchiale ma ebbe modo di notarne uno a Venezia – probabilmente nel circolo di persone che ruotava attorno a Paolo Sarpi – di provenienza parigina. Egli possedeva però quello che mancava a molti suoi detrattori: le competenze e le capacità per costruirselo per conto proprio. A conferma di ciò, basti ricordare che lo stesso Keplero, chiese quanto prima uno copia dello strumento a Galileo perché a Praga nessuno di sua conoscenza era in grado di realizzarne uno che producesse gli ingrandimenti adeguati.

[4] “…il Granduca di Toscana, il quale […] mi fece dono […] di più di mille pezzi d’oro e ora mi richiama in patria con un stipendio annuo pari a mille pezzi d’oro e con il titolo di Filosofo e Matematico di sua Altezza, e inoltre senza alcun altro onere, perché io abbia tutto l’agio di perfezionare i miei scritti di meccanica, sulla costituzione dell’universo e sul moto locale sia naturale sia violento, di cui ho dimostrato geometricamente numerose proprietà insospettate e mirabili”, Cfr. Bucciantini, p. 191.

[5] Inclusione che venne realizzata all’ultimo momento, poco prima della pubblicazione. Le lettere sono prima presentate in originale e poi tradotte e commentate in latino da Keplero.

[6] Cfr. Caspar pag.198.

[7] Nel De Magia Universalis del 1593 il Della Porta si era peritato di dimostrare in quanti modi si potesse stupire o meravigliare un pubblico mediante l’uso delle lenti.

[8] “Libellum exhibeo, lector amice, mathematicum, hoc est captu non adeo facilem: et qui non tantum ingenium in lectore requirat, sed etiam attentionem mentis praecipuam, et cupiditatem incredibilem cognoscendi rerum causa”.

[9] Fenomeno tra l’altro in accordo con il sistema tychonico oltre che con quella copernicano.

[10] “… ho demostratione certa che sì come tutti i Pianeti ricevono il lume dal Sole essendo per se stessi tenebrosi e opachi, così le stelle fisse risplendono per loro natura, non bisognose della illustrazione de i raggi solari…”.

[11] Galileo descrive il sistema degli anelli di Saturno “essere non una stella sola, ma tre insieme, le quali quasi si toccano […] Saturno sia una stella lunghetta in forma d’una uliva […] ma servendosi di un Occhiale, che moltiplichi più di mille volte in superficie, si vedranno li tre globi distintissimi, et che quasi si toccano, non apparendo tra essi maggior divisione di un sottil filo oscuro”.

[12] Non a caso Galileo presentò il più delle volte come testimoni delle proprie osservazioni illustri personaggi della società civile, non appartenenti alla comunità scientifica.

[13] Uno dei rimproveri che Keplero rivolse a Galileo nella lettera del 9 agosto 1910 riguardava l’aver fornito le proprie osservazioni scevre da ogni interpretazione a chiunque, anche a chi non aveva strumenti per comprenderle. Cfr. Bucciantini p. 202.

[14] Il tutto era costituito da due assi di legno, tra loro perpendicolari, e da un cubo di vetro inserito tra queste. L’asse verticale proiettava nel corso della giornata la propria ombra che era diversa in lunghezza all’esterno e all’interno del cubo. Dalla misura delle ombre, con un banale rapporto di cateti si risaliva prima alle tangenti e poi al calcolo dell’ampiezza degli angoli di incidenza e di rifrazione.

[15] Di problemi connessi alla rifrazione si era già occupato anche Tycho Brahe nel tentativo di calcolare con la massima esattezza possibile la parallasse diurna di Marte al fine di poter valutare la distanza del pianeta dalla Terra. Cfr. Ferguson p.141.

[16] “Duobus convexis majora et distincta praestare visibilis, sed eversu situ”.









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